VÍDEO SOBRE FUNDAMENTO DE LA AXONOMETRÍA
La axonometría es la proyección ortogonal (perpendicular al plano) C’, de una figura C (en este caso un prisma). La proyección sobre el papel o plano del cuadro es además cilíndrica (esto es, proyectada mediante líneas paralelas).
La figura se coloca usualmente coincidente con los ejes que forman entre sí 90º dos a dos (como la esquina de un cubo); a estos tres ejes cartesianos en los que va colocada la pieza se le llama triedro trirrectángulo y es una pirámide que corta al plano del cuadro según un triángulo (azul en el dibujo), llamado triángulo fundamental TF.
A mayor pendiente que tengan estos ejes respecto al plano del cuadro, las caras de la figura se verán menos: es como la esquina de un cubo (el triedro) que flota en el agua (siendo su superficie el plano del cuadro) y la línea azul es la de flotación de la esquina del cubo. Si el triángulo que define la línea de flotación tiene lados iguales, estamos en un sistema en el que todas las caras del triedro tienen la misma pendiente y los ejes al ser proyectados se reducen lo mismo sobre el plano del cuadro, estamos hablando entonces del sistema axonométrico isométrico.
Si levantamos un eje de forma que tenga menos pendiente que los otros, o lo hundimos para que tenga más, manteniendo los otros la misma pendiente entre ellos, tenemos el sistema axonométrico dimétrico. Si el ángulo de los tres respecto al plano del cuadro es distinto estamos ante una axonometría trimétrica.
Esta sería la representación axonométrica del prisma con su coincidencia de las aristas sobre los ejes coordenados del triedro trirrectángulo.
Para obtener las dimensiones reducidas de la pieza correspondientes a la proyección axonométrica del papel, podemos abatir el plano que contiene cada cara de la figura (por ejemplo a),
Una vez que está abatida (a), proyectamos sus dimensiones sobre la proyección de los ejes: la dimensión del cuadrado azul en (x) sobre x’,…
Abatimos de esta forma las tres caras del triedro para obtener sus verdaderas magnitudes. Para obtener las caras abatidas tenemos en cuenta dos cosas:
1- al abatir un punto O, su transformado queda sobre la perpendicular a la proyección de O sobre el plano del cuadro.
Así es como quedaría la perspectiva de la figura, con sus aristas coincidentes con las proyecciones de los ejes del triedro. Las tres caras de la figura en tres colores distintos se obtienen en la proyección axonométrica al proyectar sus medidas sobre los ejes. Así, m se transforma en m’ y n en n´.
En la pirámide está colocada la figura con sus tres caras que tocan a los planos del triedro, éstas son abatidas para obtener su verdadera forma y magnitud.
Este es el fundamento del sistema, del desabatimiento (proceso inverso al anterior) obtenemos las tres caras de color sobre el triedro en la perspectiva.
Una vez que hemos proyectado las dimensiones reales de las figuras sobre los ejes y construimos el contorno de la figura, sólo cabe ya darle una consistencia espacial para el dibujo de la pieza.
Si observamos un lado b de la figura veremos que al prolongarlo coincide con la prolongación de su proyección axonométrica b’en un punto “doble” sobre la recta H, ya que es el eje de giro del abatimiento y tras el giro ese punto es invariante por estar en el eje de giro. El segmento a corresponde a la altura de la figura y su representación axonométrica con la reducción correspondiente es a’.
A la derecha observamos la pieza con sus vistas diédricas abatidas y su representación tridimensional sin líneas ocultas.
Construimos los ejes con los ángulos que deseemos, sea iso, di o trimétrico. En la figura la axonometría es trimétrica por tener los ángulos desiguales entre los tres ejes. Prolongamos los ejes y desde un punto del eje elegido hacemos una perpendicular a la prolongación del eje Z.
Las tres vistas desabatidas
Perspectiva isométrica de una pirámide de base cuadrada. Se hacen los abatimientos de las caras del triedro trirrectángulo, se coloca la planta y el alzado de la figura en las vistas abatidas y se proyectan en la dirección de los ejes hasta que intercepte a las aristas de la pirámide.
Perspectiva isométrica de un cubo. Como todas las caras tienen el mismo ángulo respecto al plano del cuadro, el contorno del cubo es un hexágono regular.
En el caso de la axonometría trimétrica tenemos que las tres caras del triedro trirrectángulo portan distinto ángulo respecto al plano del cuadro por lo que al abatirlas obtenemos caras distintas. Se prolongan los ejes del triedro y en un punto de uno de ellos se hace una perpendicular a la prolongación de otro eje. Esta recta perpendicular al eje va ser uno de los lados del triángulo fundamental.
Los otros lados se obtienen al hacer por los puntos de intersección de esta recta con los ejes, rectas perpendiculares a la prolongación de los demás ejes.
Una vez que tenemos construido el triángulo fundamental, como venimos haciendo, hacemos centro en los lados del triángulo y construimos semicircunferencias que comprendan estos lados, en la intersección de estas semicircunferencias con la prolongación de los ejes tenemos el vértice del triedro abatido que determina con los lados del triángulo fundamental las caras abatidas del triedro.
Por último se colocan las vistas de la pieza sobre las caras del triedro abatidas y se proyectan en la dirección de los ejes hasta que corten a la proyección de las aristas del triedro trirrectángulo.
Aquí tenemos otra representación en axonometría trimétrica, las caras abatidas del triedro contienen las caras abatidas de la pieza que tocan las paredes del triedro trirrectángulo.
Axonometría con abatimientos y desplazamientos
En la imagen observamos en azul una axonometría trimétrica ya que las aristas del cubo forman ángulos distintos entre sí, debajo una isométrica ya que forman igual ángulo, por tanto los vértices de la diagonal principal son coincidentes ya que ésta aparece vertical e incidente en ambos puntos y el contorno del cubo es un hexágono regular.
Teorema de
Schlomilch-Waisbach
Las proyecciones ortogonales de los ejes del
triedro trirrectángulo sobre el plano del cuadro son en realidad bisectrices de
los ángulos que se forman al unir las intersecciones de las alturas del
triángulo fundamental que determina el triedro trirrectángulo con el plano de
cuadro.
Tenemos el triedro trirrectángulo o pirámide de la axonometría que se proyecta sobre el cuadro según el triángulo amarillo mayor.
Si en el mismo dibujamos las alturas obtenemos el
ortocentro, la intersección de las alturas con los lados del triángulo
fundamental nos determina tres puntos que forman otro triángulo inscrito en el
anterior que aparece en color violeta.
El teorema demuestra que las alturas del triángulo amarillo son en realidad bisectrices de los tres ángulos del triángulo violeta.
Vamos a demostrarlo tomando el caso por ejemplo del ángulo rojo que aparece con las letras gamma y épsilon.
Si nos fijamos en el dibujo a la derecha se establece una igualdad de ángulos ya que son inscritos y abarcan la misma cuerda, tenemos entonces que el ángulo alfa es igual al beta porque ambos abarcan la misma cuerda que es en realidad la línea negra base del triángulo superior, el ángulo alfa y épsilon también abarcan la misma cuerda de la circunferencia, es la línea negra de mayor grosor que está en el triángulo superior en el borde superior derecho, el ángulo beta y el ángulo gamma también abarcan la misma cuerda y por tanto son iguales, aparece también en color negro y de mayor grosor en el triángulo superior en el borde izquierdo.
Como alfa es igual a beta y a épsilon, y beta igual a gamma, gamma también es igual a épsilon, de esta manera queda demostrado que efectivamente la altura vertical del triángulo amarillo biseca el ángulo inferior del triángulo violeta.
Si procedemos de igual forma con los otros triángulos y con los ángulos inscritos que abarcan igual cuerda podremos demostrar siguiendo los mismos pasos que las otras alturas del triángulo violeta efectivamente son las bisectrices del triángulo violeta
De esta forma podemos ver en el dibujo los ángulos amarillos que son iguales entre sí, análogamente tenemos los azules y según se demostró los rojos.
Aplicación del teorema
anterior
Dadas las escalas axonométricas determinadas por tres segmentos a, b, c, hallar los ejes del sistema axonométrico.
Se dan las tres medidas de 6,32, 7,74 y 8,36, son las que aparecen en color ocre como cuerdas de la circunferencia derecha, esas cuerdas se proyectan según tres segmentos de medidas respectivas 4, 6 y 7.
Si tomamos esas tres medidas y construimos un triángulo como el que aparece a la izquierda en color rojo, tenemos que sus bisectrices azules son en realidad los ejes axonométricos.
Podemos verificar en los abatimientos que al dividir un eje espacial de la axonometría entre su proyección obtenemos un número que multiplicado por 9,21 nos da la escala natural o medida real de los ejes axonométricos. Por ejemplo la proyección de un eje mide 0,8982, y el eje mide 1,3093, al dividir ambos obtenemos la medida 0,6880, si la multiplicamos por 9,21 95 nos da la medida original del enunciado, 6,3246
9,2195 es la escala natural que se haya de la siguiente manera (según el teorema estudiado anteriormente en una segunda parte no contemplado en la demostración anterior):
Sumamos las tres medidas que obtuvimos por proyección,
4, 6, 7, obteniendo 17, lo dividimos entre 2, y es 8,5
Al proyectar esa medida mediante una vertical sobre la
semicircunferencia obtenemos la cuerda verde que define la escala natural:
9,2195, eso quiere decir que si hacemos una axonometría cualquiera, al
multiplicar la escala de un eje por ese número no os va a dar siempre las
escalas axonométricas dadas.
